Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 3} \frac{{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{x - 3}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} {(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} {(x - 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de ${(x - 2)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.5

Mueve el exponente $2$ de ${(x - 4)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.7

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{{(3 - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{{(3 - 1 \cdot 2)}^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.9.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(3 - 2)}^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.9.1.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.9.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.9.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{1 - {(3 - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.9.1.5

Resta $4$ de $3$ .

$\frac{1 - {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.9.1.6

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.9.1.6.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.9.1.6.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.9.1.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.9.1.6.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{3}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.9.1.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.2.9.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.2

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.3

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - 2) - 2 (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.4.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.4.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.4.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.5

Reescribe ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - ((x - 4) (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.6

Expande $(x - 4) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x (x - 4) - 4 (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.7.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.7.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.7.2

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 8 x + 16)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.10

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.3.10.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.10.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.10.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.11

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.12

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]$ .

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Paso 1.3.12.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (x^{2} - 8 x + 16)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 8 x + 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.12.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.12.4

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.12.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.12.6

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \cdot 1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.12.7

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.12.8

Suma $2 x - 8$ y $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.13

Simplifica.

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Paso 1.3.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x) - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.13.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.13.2.1

Suma $2 x - 4$ y $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - (2 x) - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.13.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - 2 x - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.13.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - 2 x + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.13.2.4

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{0 - 4 + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.13.2.5

Resta $4$ de $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 4 + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.13.2.6

Suma $- 4$ y $8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 1.3.14

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 1.3.16

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1 + 0}$

Paso 1.3.17

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1}$

Paso 1.4

Divide $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} 4$

Paso 2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$4$