Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} {(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{x}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + \arctan (x))}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (1 + \arctan (x))}$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $\ln (1 + \arctan (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \arctan (x))}{x}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Evalúa el límite de $\arctan (x)$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + \arctan (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.4.2

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.5.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \arctan (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \arctan (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \arctan (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + \arctan (x)$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + \arctan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + \arctan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.6

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.7

Multiplica $\frac{1}{1 + \arctan (x)}$ por $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}{1}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})} \cdot 1}$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0} (1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + \arctan (x) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Paso 4.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Paso 4.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Paso 4.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2})}}$

Paso 4.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (1 + lim_{x \to 0} x^{2})}}$

Paso 4.8

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $\arctan (x)$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{(1 + \arctan (0)) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Paso 5.2

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + 0) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{(1 + 0) \cdot (1 + 0^{2})}}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{1 (1 + 0^{2})}}$

Paso 6.1.2

Multiplica $1 + 0^{2}$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{1 + 0^{2}}}$

Paso 6.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e^{\frac{1}{1 + 0}}$

Paso 6.1.4

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Paso 6.2

Divide $1$ por $1$ .

$e^{1}$

Paso 6.3

Simplifica.

$e$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e$

Forma decimal:

$2.71828182 \dots$