Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - \int_{1}^{27} \frac{1}{x} d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1.1

Evalúa $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ en $27$ y en $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

Paso 6.1.2

Evalúa $\ln (| x |)$ en $27$ y en $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3

Simplifica.

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Paso 6.1.3.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.4

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.5

Combina $\frac{3}{4}$ y $81$ .

$\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.6

Multiplica $3$ por $81$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{243 - 3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.10

Resta $3$ de $243$ .

$\frac{240}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.11

Cancela el factor común de $240$ y $4$ .

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Paso 6.1.3.11.1

Factoriza $4$ de $240$ .

$\frac{4 \cdot 60}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.3.11.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 60}{4 (1)} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{60}{1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.1.3.11.2.4

Divide $60$ por $1$ .

$60 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$60 - \ln (\frac{| 27 |}{| 1 |})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $27$ es $27$ .

$60 - \ln (\frac{27}{| 1 |})$

Paso 6.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$60 - \ln (\frac{27}{1})$

Paso 6.3.3

Divide $27$ por $1$ .

$60 - \ln (27)$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Reescribe $\ln (27)$ como $\ln (3^{3})$ .

$60 - \ln (3^{3})$

Paso 7.2

Expande $\ln (3^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$60 - (3 \ln (3))$

Paso 7.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$60 - 3 \ln (3)$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$60 - 3 \ln (3)$

Forma decimal:

$56.70416313 \dots$

Paso 9