Cálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 8 z + 16 = 0$

Paso 1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 8 z = - 16$

Paso 2

Completa el cuadrado de $x^{2} - 8 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{1}$

Paso 2.3.2.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide $64$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Paso 2.4.2.2

Resta $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 4)}^{2} - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16$

Paso 3

Sustituye ${(x - 4)}^{2} - 16$ por $x^{2} - 8 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 8 z = - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16 + y^{2} + z^{2} + 8 z = - 16$

Paso 4

Mueve $- 16$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $16$ a ambos lados.

${(x - 4)}^{2} + y^{2} + z^{2} + 8 z = - 16 + 16$

Paso 5

Completa el cuadrado de $z^{2} + 8 z$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{1}$

Paso 5.3.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$d = 4$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Paso 5.4.2.1.3

Divide $64$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Paso 5.4.2.2

Resta $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(z + 4)}^{2} - 16$ .

${(z + 4)}^{2} - 16$

Paso 6

Sustituye ${(z + 4)}^{2} - 16$ por $z^{2} + 8 z$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 8 z = - 16$ .

${(x - 4)}^{2} + y^{2} + {(z + 4)}^{2} - 16 = - 16 + 16$

Paso 7

Mueve $- 16$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $16$ a ambos lados.

${(x - 4)}^{2} + y^{2} + {(z + 4)}^{2} = - 16 + 16 + 16$

Paso 8

Simplifica $- 16 + 16 + 16$ .

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Paso 8.1

Suma $- 16$ y $16$ .

${(x - 4)}^{2} + y^{2} + {(z + 4)}^{2} = 0 + 16$

Paso 8.2

Suma $0$ y $16$ .

${(x - 4)}^{2} + y^{2} + {(z + 4)}^{2} = 16$

Paso 9