Cálculo Ejemplos

$a^{3} y = x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (a^{3} y) = \frac{d}{d x} (x^{2} (2 a^{2} - x^{2}))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $a^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a^{3} y$ con respecto a $x$ es $a^{3} \frac{d}{d x} [y]$ .

$a^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$a^{3} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 2 a^{2} - x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [2 a^{2} - x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 a^{2} - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2

Como $2 a^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 a^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (- (2 x)) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} (- 2 x) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Mueve $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$x^{3} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$- 2 \cdot x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) (2 x)$

Paso 3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $2 a^{2} - x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 2 \cdot (2 a^{2} - x^{2}) x$

Paso 3.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x^{3} + (2 (2 a^{2}) + 2 (- x^{2})) x$

Paso 3.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x^{3} + 2 (2 a^{2}) x + 2 (- x^{2}) x$

Paso 3.7.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x + 2 (- x^{2}) x$

Paso 3.7.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{2} x$

Paso 3.7.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 (x^{1} x^{2})$

Paso 3.7.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{1 + 2}$

Paso 3.7.3.5

Suma $1$ y $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{3}$

Paso 3.7.3.6

Resta $2 x^{3}$ de $- 2 x^{3}$ .

$- 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

Paso 5

Divide cada término en $a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ por $a^{3}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Divide cada término en $a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ por $a^{3}$ .

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $a^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Paso 5.3.1.2

Cancela el factor común de $a^{2}$ y $a^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.2.1

Factoriza $a^{2}$ de $4 a^{2} x$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{3}}$

Paso 5.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.2.2.1

Factoriza $a^{2}$ de $a^{3}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

Paso 5.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

Paso 5.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$