Cálculo Ejemplos

$y = 4 arccoth (4 x - 8)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 arccoth (4 x - 8))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 arccoth (4 x - 8)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [arccoth (4 x - 8)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [arccoth (4 x - 8)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = arccoth (x)$ y $g (x) = 4 x - 8$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x - 8$ .

$4 (\frac{d}{d u} [arccoth (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 8])$

Paso 3.2.2

La derivada de $arccoth (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 - u^{2}}$ .

$4 (\frac{1}{1 - u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 8])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x - 8$ .

$4 (\frac{1}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 8])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Combina $\frac{1}{1 - {(4 x - 8)}^{2}}$ y $4$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 8]$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 3.3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 3.3.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (4 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 3.3.6

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (4 + 0)$

Paso 3.3.7

Combina fracciones.

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Paso 3.3.7.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} \cdot 4$

Paso 3.3.7.2

Combina $\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}}$ y $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}}$

Paso 3.3.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.7.3.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{16}{1 - {(4 x - 8)}^{2}}$

Paso 3.3.7.3.2

Reordena los términos.

$\frac{16}{- {(4 x - 8)}^{2} + 1}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{16}{- {(4 x - 8)}^{2} + 1}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{16}{- {(4 x - 8)}^{2} + 1}$