Cálculo Ejemplos

$y = \frac{e^{x}}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Paso 1.4.2

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x - e^{x}$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Paso 1.4.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.4.4.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.6.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.6.2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.6.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Paso 2.6.2.2

Factoriza $x$ de $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ .

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Paso 2.6.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Paso 2.6.2.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 e^{x} (x - 1) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Paso 2.6.2.2.3

Factoriza $x$ de $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Paso 2.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.7.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.7.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.7.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Paso 2.8

Simplifica.

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Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Paso 2.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Paso 2.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Paso 2.8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.4.1

Combina los términos opuestos en $x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1$ .

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Paso 2.8.4.1.1

Reordena los factores en los términos $x e^{x}$ y $x (- 1 e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x} x + x (x e^{x}) - e^{x} x - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Paso 2.8.4.1.2

Resta $e^{x} x$ de $e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) + 0 - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Paso 2.8.4.1.3

Suma $x (x e^{x})$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Paso 2.8.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.4.2.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.8.4.2.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Paso 2.8.4.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Paso 2.8.4.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Paso 2.8.4.3

Reordena los factores en $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Paso 2.8.5

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Paso 2.8.6

Reordena los factores en $\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Paso 4.1.4.2

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x - e^{x}$ .

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Paso 4.1.4.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Paso 4.1.4.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Paso 4.1.4.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$e^{x} (x - 1) = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 5.3.2

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.2.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 5.3.2.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 5.3.2.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 5.3.2.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 5.3.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 5.3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 1$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{{(1)}^{2} e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{{(1)}^{3}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Paso 9.1.2

Multiplica $e^{1}$ por $1$ .

$\frac{e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Paso 9.1.3

Simplifica.

$\frac{e - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Paso 9.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{e - 2 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Paso 9.1.5

Simplifica.

$\frac{e - 2 e + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Paso 9.1.6

Simplifica.

$\frac{e - 2 e + 2 e}{1^{3}}$

Paso 9.1.7

Resta $2 e$ de $e$ .

$\frac{- e + 2 e}{1^{3}}$

Paso 9.1.8

Suma $- e$ y $2 e$ .

$\frac{e}{1^{3}}$

Paso 9.2

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{e}{1}$

Paso 9.2.2

Divide $e$ por $1$ .

$e$

Paso 10

$x = 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{e^{1}}{1}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Divide $e^{1}$ por $1$ .

$f (1) = e$

Paso 11.2.2

La respuesta final es $e$ .

$y = e$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ .

$(1, e)$ es un mínimo local

Paso 13