Cálculo Ejemplos

$\ln (\frac{2 x - 1}{x - 1})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{2 x - 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ .

$1 \frac{x - 1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{x - 1}{2 x - 1}$ por $1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

Paso 4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x - 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 \cdot (x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.10

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.10.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.10.3

Multiplica $\frac{x - 1}{2 x - 1}$ por $\frac{2 (x - 1) - (2 x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 1) (2 (x - 1) - (2 x - 1))}{(2 x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Factoriza $x - 1$ de $(2 x - 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (2 (x - 1) - (2 x - 1))}{(x - 1) ((2 x - 1) (x - 1))}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (2 (x - 1) - (2 x - 1))}{(x - 1) ((2 x - 1) (x - 1))}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (x - 1) - (2 x - 1)}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Paso 7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - (2 x - 1)}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - (2 x) - - 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Paso 7.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - (2 x) - - 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - 2 x - - 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Paso 7.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - 2 x + 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Paso 7.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x - 2 - 2 x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 - 2 + 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Paso 7.3.2.2

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{- 2 + 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Paso 7.3.3

Suma $- 2$ y $1$ .

$\frac{- 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Paso 7.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{(2 x - 1) (x - 1)}$