Cálculo Ejemplos

$\frac{\sin (x^{2})}{3 x}$

Paso 1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{\sin (x^{2})}{3 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{x}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sin (x^{2})$ y $g (x) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\cos (x^{2}) (2 x)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (x^{2})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 10

Combina fracciones.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2})}{x^{2}}$

Paso 10.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2})}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2})}{3 x^{2}}$

Paso 10.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{2} \cos (x^{2}) - \sin (x^{2})}{3 x^{2}}$