Cálculo Ejemplos

$x + 2 x y - y^{2} = 2$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (x + 2 x y - y^{2}) = \frac{d}{d y} (2)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2 x y - y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$x' + 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$x' + 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x' + 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$x' + 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x' + 2 (x + y x') - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x' + 2 (x + y x') - (2 y)$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x' + 2 (x + y x') - 2 y$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x' + 2 x + 2 (y x') - 2 y$

Paso 2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x' + 2 x + 2 y x' - 2 y$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$2 y x' + 2 x - 2 y + x'$

Paso 3

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y x' + 2 x - 2 y + x' = 0$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $x'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y x' - 2 y + x' = - 2 x$

Paso 5.1.2

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y x' + x' = - 2 x + 2 y$

Paso 5.2

Factoriza $x'$ de $2 y x' + x'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x'$ de $2 y x'$ .

$x' (2 y) + x' = - 2 x + 2 y$

Paso 5.2.2

Eleva $x'$ a la potencia de $1$ .

$x' (2 y) + x' = - 2 x + 2 y$

Paso 5.2.3

Factoriza $x'$ de ${x'}^{1}$ .

$x' (2 y) + x' \cdot 1 = - 2 x + 2 y$

Paso 5.2.4

Factoriza $x'$ de $x' (2 y) + x' \cdot 1$ .

$x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$

Paso 5.3

Divide cada término en $x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$ por $2 y + 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$ por $2 y + 1$ .

$\frac{x' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2 y + 1$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{- 2 x + 2 y}{2 y + 1}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $2$ de $- 2 x + 2 y$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$x' = \frac{2 (- x) + 2 y}{2 y + 1}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$x' = \frac{2 (- x) + 2 (y)}{2 y + 1}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (y)$ .

$x' = \frac{2 (- x + y)}{2 y + 1}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$x' = \frac{2 (- (x) + y)}{2 y + 1}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$x' = \frac{2 (- (x) - 1 (- y))}{2 y + 1}$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- y)$ .

$x' = \frac{2 (- (x - y))}{2 y + 1}$

Paso 5.3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.6.1

Reescribe $- (x - y)$ como $- 1 (x - y)$ .

$x' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{2 y + 1}$

Paso 5.3.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{2 (x - y)}{2 y + 1}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{2 (x - y)}{2 y + 1}$