Cálculo Ejemplos

$\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Paso 4

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 4.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 4.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$

Paso 4.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de ${(2 x - 1)}^{2}$ .

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Paso 4.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Paso 4.1.4.2

Divide $4 x - 1$ por $1$ .

$4 x - 1 = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Paso 4.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.1

Cancela el factor común de ${(2 x - 1)}^{2}$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Cancela el factor común.

$4 x - 1 = \frac{A {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Paso 4.1.5.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Paso 4.1.5.2

Cancela el factor común de ${(2 x - 1)}^{2}$ y $2 x - 1$ .

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Paso 4.1.5.2.1

Factoriza $2 x - 1$ de $(B) {(2 x - 1)}^{2}$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Paso 4.1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.5.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

Paso 4.1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

Paso 4.1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$4 x - 1 = A + \frac{B (2 x - 1)}{1}$

Paso 4.1.5.2.2.4

Divide $B (2 x - 1)$ por $1$ .

$4 x - 1 = A + B (2 x - 1)$

Paso 4.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x - 1 = A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Paso 4.1.5.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x - 1 = A + 2 B x + B \cdot - 1$

Paso 4.1.5.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B$ .

$4 x - 1 = A + 2 B x - 1 \cdot B$

Paso 4.1.5.6

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$4 x - 1 = A + 2 B x - B$

Paso 4.1.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.6.1

Mueve $B$ .

$4 x - 1 = A + 2 x B - B$

Paso 4.1.6.2

Reordena $A$ y $2 x B$ .

$4 x - 1 = 2 x B + A - B$

Paso 4.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 4.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$4 = 2 B$

Paso 4.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = A - 1 B$

Paso 4.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

Paso 4.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.3.1

Resuelve $B$ en $4 = 2 B$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe la ecuación como $2 B = 4$ .

$2 B = 4$

$- 1 = A - 1 B$

Paso 4.3.1.2

Divide cada término en $2 B = 4$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.3.1.2.1

Divide cada término en $2 B = 4$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Paso 4.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Paso 4.3.1.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Paso 4.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1.2.3.1

Divide $4$ por $2$ .

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

Paso 4.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $- 1 = A - 1 B$ por $2$ .

$- 1 = A - 1 \cdot 2$

$B = 2$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

Paso 4.3.3

Resuelve $A$ en $- 1 = A - 2$ .

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Paso 4.3.3.1

Reescribe la ecuación como $A - 2 = - 1$ .

$A - 2 = - 1$

$B = 2$

Paso 4.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$A = - 1 + 2$

$B = 2$

Paso 4.3.3.2.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

Paso 4.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = 1 B = 2$

Paso 4.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 1, B = 2$

Paso 4.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1}$

Paso 4.5

Elimina el cero de la expresión.

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Paso 6

Sea $u_{1} = 2 x - 1$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{1} = 2 x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 6.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 6.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 6.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 6.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Paso 7.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${u_{1}}^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Paso 9

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 9.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Paso 9.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 9.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Paso 9.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Paso 11

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Paso 12

Sea $u_{2} = 2 x - 1$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 12.1

Deja $u_{2} = 2 x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 12.1.1

Diferencia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 12.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 12.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 12.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 12.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 12.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 12.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 12.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 12.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 12.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 13.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 14

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 15.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 15.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 15.3

Multiplica $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 16

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{1}}) + \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 17.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{2 u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 18

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 18.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 18.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$

Paso 19

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$