Cálculo Ejemplos

$y^{2} + 3 x^{2} = y^{3} - x^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2} + 3 x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{3} - x^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y y' + 3 (2 x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$2 y y' + 6 x$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 y^{2} y' - (3 x^{2})$

Paso 3.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 y^{2} y' - 3 x^{2}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' + 6 x = - 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $3 y^{2} y'$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' + 6 x - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Paso 5.2

Resta $6 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x$

Paso 5.3

Factoriza $y y'$ de $2 y y' - 3 y^{2} y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y y'$ de $2 y y'$ .

$y y' \cdot 2 - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x$

Paso 5.3.2

Factoriza $y y'$ de $- 3 y^{2} y'$ .

$y y' \cdot 2 + y y' (- 3 y) = - 3 x^{2} - 6 x$

Paso 5.3.3

Factoriza $y y'$ de $y y' \cdot 2 + y y' (- 3 y)$ .

$y y' (2 - 3 y) = - 3 x^{2} - 6 x$

Paso 5.4

Divide cada término en $y y' (2 - 3 y) = - 3 x^{2} - 6 x$ por $y (2 - 3 y)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y y' (2 - 3 y) = - 3 x^{2} - 6 x$ por $y (2 - 3 y)$ .

$\frac{y y' (2 - 3 y)}{y (2 - 3 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (2 - 3 y)}{y (2 - 3 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (2 - 3 y)}{2 - 3 y} = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $2 - 3 y$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 - 3 y)}{2 - 3 y} = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Paso 5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} - \frac{6 x}{y (2 - 3 y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} - \frac{6 x}{y (2 - 3 y)}$