Cálculo Ejemplos

$\frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$

Paso 1

Escribe $\frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$ como una función.

$f (x) = \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4

Divide $7 x^{4} + 5$ por $x^{2} + 1$ .

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Paso 4.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

Paso 4.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $7 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

Paso 4.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

Paso 4.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $7 x^{4} + 0 + 7 x^{2}$ .

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

Paso 4.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

Paso 4.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

Paso 4.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 7 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

Paso 4.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

Paso 4.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 7 x^{2} + 0 - 7$ .

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

Paso 4.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

$12$

Paso 4.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 7 x^{2} - 7 + \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 7 x^{2} d x + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Paso 6

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 \int x^{2} d x + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 7 x + C + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Paso 9

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Paso 10

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 11.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 (\arctan (x) + C)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

$\frac{7 x^{3}}{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

Paso 13.2

Reordena los términos.

$\frac{7}{3} x^{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{7}{3} x^{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$