Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $8$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $18$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

Paso 1.4.2

Suma $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ y $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36 x$ con respecto a $x$ es $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $36$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $3$ por $8$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $18$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $4 x$ de $24 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 36 x = 0$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $4 x$ de $36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 4 x (9) = 0$

Paso 5.2.1.4

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (6 x)$ .

$4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (9) = 0$

Paso 5.2.1.5

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (9)$ .

$4 x (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.2.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Paso 5.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 5.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$4 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Paso 5.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$4 x {(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 5.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5.5

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve ${(x + 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 5.5.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x {(x + 3)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 0, - 3$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, - 3$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(0)}^{2} + 48 (0) + 36$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 \cdot 0 + 48 (0) + 36$

Paso 9.1.2

Multiplica $12$ por $0$ .

$0 + 48 (0) + 36$

Paso 9.1.3

Multiplica $48$ por $0$ .

$0 + 0 + 36$

Paso 9.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 9.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 36$

Paso 9.2.2

Suma $0$ y $36$ .

$36$

Paso 10

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 4$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 4$

Paso 11.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0 + 18 {(0)}^{2} + 4$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $8$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 18 {(0)}^{2} + 4$

Paso 11.2.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 18 \cdot 0 + 4$

Paso 11.2.1.5

Multiplica $18$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 4$

Paso 11.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 11.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 4$

Paso 11.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 4$

Paso 11.2.2.3

Suma $0$ y $4$ .

$f (0) = 4$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $4$ .

$y = 4$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 3$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(- 3)}^{2} + 48 (- 3) + 36$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$12 \cdot 9 + 48 (- 3) + 36$

Paso 13.1.2

Multiplica $12$ por $9$ .

$108 + 48 (- 3) + 36$

Paso 13.1.3

Multiplica $48$ por $- 3$ .

$108 - 144 + 36$

Paso 13.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 13.2.1

Resta $144$ de $108$ .

$- 36 + 36$

Paso 13.2.2

Suma $- 36$ y $36$ .

$0$

Paso 14

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 14.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 14.2

Sustituye cualquier número, como $- 6$ , del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la primera derivada $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f' (- 6) = 4 {(- 6)}^{3} + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Paso 14.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.2.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 6) = 4 \cdot - 216 + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Paso 14.2.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 216$ .

$f' (- 6) = - 864 + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Paso 14.2.2.1.3

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 6) = - 864 + 24 \cdot 36 + 36 (- 6)$

Paso 14.2.2.1.4

Multiplica $24$ por $36$ .

$f' (- 6) = - 864 + 864 + 36 (- 6)$

Paso 14.2.2.1.5

Multiplica $36$ por $- 6$ .

$f' (- 6) = - 864 + 864 - 216$

Paso 14.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 14.2.2.2.1

Suma $- 864$ y $864$ .

$f' (- 6) = 0 - 216$

Paso 14.2.2.2.2

Resta $216$ de $0$ .

$f' (- 6) = - 216$

Paso 14.2.2.3

La respuesta final es $- 216$ .

$- 216$

Paso 14.3

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- 3, 0)$ en la primera derivada $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

Paso 14.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.3.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

Paso 14.3.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

Paso 14.3.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 24 \cdot 4 + 36 (- 2)$

Paso 14.3.2.1.4

Multiplica $24$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 32 + 96 + 36 (- 2)$

Paso 14.3.2.1.5

Multiplica $36$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 96 - 72$

Paso 14.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 14.3.2.2.1

Suma $- 32$ y $96$ .

$f' (- 2) = 64 - 72$

Paso 14.3.2.2.2

Resta $72$ de $64$ .

$f' (- 2) = - 8$

Paso 14.3.2.3

La respuesta final es $- 8$ .

$- 8$

Paso 14.4

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, \infty)$ en la primera derivada $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

Paso 14.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

Paso 14.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$f' (2) = 32 + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

Paso 14.4.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = 32 + 24 \cdot 4 + 36 (2)$

Paso 14.4.2.1.4

Multiplica $24$ por $4$ .

$f' (2) = 32 + 96 + 36 (2)$

Paso 14.4.2.1.5

Multiplica $36$ por $2$ .

$f' (2) = 32 + 96 + 72$

Paso 14.4.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 14.4.2.2.1

Suma $32$ y $96$ .

$f' (2) = 128 + 72$

Paso 14.4.2.2.2

Suma $128$ y $72$ .

$f' (2) = 200$

Paso 14.4.2.3

La respuesta final es $200$ .

$200$

Paso 14.5

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = - 3$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 14.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un mínimo local.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 15