Cálculo Ejemplos

$\int x^{3} e^{6 x^{4}} \sqrt{{(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{5}} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ . Entonces $d u_{2} = 48 x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ , de modo que $\frac{1}{48} d u_{2} = x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 e^{6 x^{4}} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}} + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 e^{6 x^{4}} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{6 x^{4}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 6 x^{4}$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $6 x^{4}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $6 x^{4}$ .

$2 (e^{6 x^{4}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{4}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (6 \frac{d}{d x} [x^{4}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (6 (4 x^{3}))) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.5

Multiplica $4$ por $6$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (24 x^{3})) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.6

Multiplica $24$ por $2$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + 0$

Paso 1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.1

Suma $48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ y $0$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3}$

Paso 1.1.5.2

Reordena los factores en $48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ .

$48 x^{3} e^{6 x^{4}}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \sqrt{{u_{2}}^{5}} \frac{1}{48} d u_{2}$

Paso 2

Combina $\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ y $\frac{1}{48}$ .

$\int \frac{\sqrt{{u_{2}}^{5}}}{48} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{48}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{48}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{48} \int \sqrt{{u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ como ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{48} \int {u_{2}}^{\frac{5}{2}} d u_{2}$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$ como $\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Multiplica $\frac{1}{48}$ por $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{48 \cdot 7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Paso 6.2.2

Multiplica $48$ por $7$ .

$\frac{2}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $336$ .

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Paso 6.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Paso 6.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $336$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Paso 6.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 e^{6 x^{4}} + 1$ .

$\frac{1}{168} {(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{\frac{7}{2}} + C$