Cálculo Ejemplos

$\int 2 \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

Paso 2

Sea $u_{2} = \sin (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = \sin (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Paso 2.1.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 \int \sqrt[3]{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 3

Combina $\sqrt[3]{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sqrt[3]{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2})$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Paso 5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Paso 5.1.3

Multiplica $\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Paso 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (2 x)$ .

$\frac{3}{4} {\sin (2 x)}^{\frac{4}{3}} + C$