Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 x + 1)}^{2} - 1}{x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 x + 1)}^{2} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de ${(2 x + 1)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 0 + 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{{(0 + 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 x + 1)}^{2} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2

Reescribe ${(2 x + 1)}^{2}$ como $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3

Expande $(2 x + 1) (2 x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.4.1.2.1

Mueve $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.1.5

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.1.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 4 x + 1 - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.6.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.6.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.3.7.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.7.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.10

Combina los términos.

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Paso 1.3.10.1

Suma $8 x + 4$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.10.2

Suma $8 x + 4$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4}{1}$

Paso 1.4

Divide $8 x + 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 8 x + 4$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 4$

Paso 2.2

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$8 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$8 lim_{x \to 0} x + 4$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$8 \cdot 0 + 4$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica $8$ por $0$ .

$0 + 4$

Paso 4.2

Suma $0$ y $4$ .

$4$