Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} \frac{s^{4} - 8}{s^{2}} d s$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Mueve $s^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (s^{4} - 8) {(s^{2})}^{- 1} d s$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(s^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (s^{4} - 8) s^{2 \cdot - 1} d s$

Paso 1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (s^{4} - 8) s^{- 2} d s$

Paso 2

Multiplica $(s^{4} - 8) s^{- 2}$ .

$\int_{1}^{4} s^{4} s^{- 2} - 8 s^{- 2} d s$

Paso 3

Multiplica $s^{4}$ por $s^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{4} s^{4 - 2} - 8 s^{- 2} d s$

Paso 3.2

Resta $2$ de $4$ .

$\int_{1}^{4} s^{2} - 8 s^{- 2} d s$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{4} s^{2} d s + \int_{1}^{4} - 8 s^{- 2} d s$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $s^{2}$ con respecto a $s$ es $\frac{1}{3} s^{3}$ .

$\frac{1}{3} s^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 8 s^{- 2} d s$

Paso 6

Dado que $- 8$ es constante con respecto a $s$ , mueve $- 8$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} s^{3}]_{1}^{4} - 8 \int_{1}^{4} s^{- 2} d s$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $s^{- 2}$ con respecto a $s$ es $- s^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} s^{3}]_{1}^{4} - 8 (- s^{- 1}]_{1}^{4})$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{1}{3} s^{3}$ en $4$ y en $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 8 (- s^{- 1}]_{1}^{4})$

Paso 8.2

Evalúa $- s^{- 1}$ en $4$ y en $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $64$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{64 - 1}{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.6

Resta $1$ de $64$ .

$\frac{63}{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.7

Cancela el factor común de $63$ y $3$ .

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Paso 8.3.7.1

Factoriza $3$ de $63$ .

$\frac{3 \cdot 21}{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 21}{3 (1)} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{21}{1} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.7.2.4

Divide $21$ por $1$ .

$21 - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$21 - 8 (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$21 - 8 (- \frac{1}{4} + 1)$

Paso 8.3.10

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$21 - 8 (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Paso 8.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$21 - 8 \frac{- 1 + 4}{4}$

Paso 8.3.12

Suma $- 1$ y $4$ .

$21 - 8 (\frac{3}{4})$

Paso 8.3.13

Combina $- 8$ y $\frac{3}{4}$ .

$21 + \frac{- 8 \cdot 3}{4}$

Paso 8.3.14

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$21 + \frac{- 24}{4}$

Paso 8.3.15

Cancela el factor común de $- 24$ y $4$ .

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Paso 8.3.15.1

Factoriza $4$ de $- 24$ .

$21 + \frac{4 \cdot - 6}{4}$

Paso 8.3.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.15.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$21 + \frac{4 \cdot - 6}{4 (1)}$

Paso 8.3.15.2.2

Cancela el factor común.

$21 + \frac{4 \cdot - 6}{4 \cdot 1}$

Paso 8.3.15.2.3

Reescribe la expresión.

$21 + \frac{- 6}{1}$

Paso 8.3.15.2.4

Divide $- 6$ por $1$ .

$21 - 6$

Paso 8.3.16

Resta $6$ de $21$ .

$15$

Paso 9