Cálculo Ejemplos

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{1}{4} x) - \cot (a n \cdot 5 x) d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x$ .

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{x}{4}) - \cot (a n \cdot (5 x)) d x$

Paso 1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $a n$ .

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{x}{4}) - \cot (5 a n x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int 2 \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

Paso 3

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int 2 \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

Paso 5

Sea $u_{1} = \frac{x}{4}$ . Entonces $d u_{1} = \frac{1}{4} d x$ , de modo que $4 d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = \frac{x}{4}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Paso 5.1.2

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{4}$ .

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) (1 \cdot 4) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Paso 6.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) \cdot 4 d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Paso 6.3

Mueve $4$ a la izquierda de $\sin (u_{1})$ .

$\tan (x) + C + 2 \int 4 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Paso 7

Dado que $4$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\tan (x) + C + 2 (4 \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int - \cot (5 a n x) d x$

Paso 8

Multiplica $4$ por $2$ .

$\tan (x) + C + 8 \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Paso 9

La integral de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \cos (u_{1})$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) + \int - \cot (5 a n x) d x$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \cot (5 a n x) d x$

Paso 11

Sea $u_{2} = 5 a n x$ . Entonces $d u_{2} = 5 a n d x$ , de modo que $\frac{1}{5 a n} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = 5 a n x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $5 a n x$ .

$\frac{d}{d x} [5 a n x]$

Paso 11.1.2

Como $5 a n$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 a n x$ con respecto a $x$ es $5 a n \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 a n \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 a n \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 a n$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \cot (u_{2}) \frac{1}{5 a n} d u_{2}$

Paso 12

Combina $\cot (u_{2})$ y $\frac{1}{5 a n}$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \frac{\cot (u_{2})}{5 a n} d u_{2}$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{5 a n}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{5 a n}$ fuera de la integral.

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - (\frac{1}{5 a n} \int \cot (u_{2}) d u_{2})$

Paso 14

La integral de $\cot (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \frac{1}{5 a n} (\ln (| \sin (u_{2}) |) + C)$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica.

$\tan (x) - 8 \cos (u_{1}) - \frac{1}{5 a n} \ln (| \sin (u_{2}) |) + C$

Paso 15.2

Combina $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ y $\frac{1}{5 a n}$ .

$\tan (x) - 8 \cos (u_{1}) - \frac{\ln (| \sin (u_{2}) |)}{5 a n} + C$

Paso 16

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 16.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{x}{4}$ .

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{x}{4}) - \frac{\ln (| \sin (u_{2}) |)}{5 a n} + C$

Paso 16.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 a n x$ .

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{x}{4}) - \frac{\ln (| \sin (5 a n x) |)}{5 a n} + C$

Paso 17

Reordena los términos.

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{1}{4} x) - \frac{\ln (| \sin (5 a n x) |)}{5 a n} + C$