Cálculo Ejemplos

$5^{x} + 2 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5^{x} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5^{x} \ln (5) + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5^{x} \ln (5) + 2 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = 5^{x} \ln (5) + 2$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5^{x} \ln (5) + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\ln (5)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5^{x} \ln (5)$ con respecto a $x$ es $\ln (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$\ln (5) \frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$\ln (5) (5^{x} \ln (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.3

Eleva $\ln (5)$ a la potencia de $1$ .

$5^{x} (\ln^{1} (5) \ln (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.4

Eleva $\ln (5)$ a la potencia de $1$ .

$5^{x} (\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5^{x} {\ln (5)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$5^{x} \ln^{2} (5) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5^{x} \ln^{2} (5) + 0$

Paso 2.3.2

Suma $5^{x} \ln^{2} (5)$ y $0$ .

$f'' (x) = 5^{x} \ln^{2} (5)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $\ln^{2} (5)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5^{x} \ln^{2} (5)$ con respecto a $x$ es $\ln^{2} (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$\ln^{2} (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$\ln^{2} (5) (5^{x} \ln (5))$

Paso 3.3

Multiplica $\ln^{2} (5)$ por $\ln (5)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1

Mueve $\ln (5)$ .

$\ln (5) \ln^{2} (5) \cdot 5^{x}$

Paso 3.3.2

Multiplica $\ln (5)$ por $\ln^{2} (5)$ .

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Paso 3.3.2.1

Eleva $\ln (5)$ a la potencia de $1$ .

$\ln^{1} (5) \ln^{2} (5) \cdot 5^{x}$

Paso 3.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\ln (5)}^{1 + 2} \cdot 5^{x}$

Paso 3.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\ln^{3} (5) \cdot 5^{x}$

Paso 3.4

Reordena los factores de $\ln^{3} (5) \cdot 5^{x}$ .

$f''' (x) = 5^{x} \ln^{3} (5)$