Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} d x$ , de modo que $2^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}]$

Paso 1.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ como ${(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ .

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Paso 1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Paso 1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Paso 1.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Paso 1.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Paso 1.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Paso 1.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Paso 1.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Paso 1.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Paso 1.1.9

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.10

Combina fracciones.

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Paso 1.1.10.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

Paso 1.1.12

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.12.1

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} x$

Paso 1.1.12.2

Combina $x$ y $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x \cdot 2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.1.12.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.1.12.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.1.12.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.1.12.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.12.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.1.12.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.1.12.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13

Simplifica.

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Paso 1.1.13.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$\frac{x}{2} {(\frac{2}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.13.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.13.3

Combina los términos.

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Paso 1.1.13.3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.1.13.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.1.13.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.13.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.1.13.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}$

Paso 1.1.13.3.2

Simplifica.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$

Paso 1.1.13.3.3

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 x}$

Paso 1.1.13.3.4

Mueve $2^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x}{2 x \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.13.3.5

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.13.3.5.1

Mueve $2^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x}$

Paso 1.1.13.3.5.2

Multiplica $2^{- \frac{1}{2}}$ por $2$ .

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Paso 1.1.13.3.5.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x}$

Paso 1.1.13.3.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x}$

Paso 1.1.13.3.5.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x}$

Paso 1.1.13.3.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x}$

Paso 1.1.13.3.5.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 1.1.13.3.6

Cancela el factor común.

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 1.1.13.3.7

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}} d u_{2}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$\int u_{2} (1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) d u_{2}$

Paso 2.2

Multiplica $2^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\int u_{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $2^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $2^{\frac{1}{2}}$ fuera de la integral.

$2^{\frac{1}{2}} \int u_{2} d u_{2}$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Combina $2^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 5.2.2

Mueve $2^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 5.2.3

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 5.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 5.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 5.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 5.2.3.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}}^{2} + C$

Paso 7

Reordena los términos.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}}}^{2} + C$