Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x - \frac{π}{4})}{x}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Paso 2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Paso 4

Evalúa el límite de $\frac{π}{4}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{\frac{π}{2}}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Paso 6.2

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Paso 6.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Paso 6.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sin (\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Paso 6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sin (\frac{π \cdot 2 - π}{4}) \frac{2}{π}$

Paso 6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$\sin (\frac{2 \cdot π - π}{4}) \frac{2}{π}$

Paso 6.5.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$\sin (\frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Paso 6.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Paso 6.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Paso 6.7.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2} \frac{1}{π}$

Paso 6.8

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{1}{π}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

Forma decimal:

$0.45015815 \dots$