Cálculo Ejemplos

$\int x \sin (3 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (3 x)$ .

$x (- \frac{1}{3} \cos (3 x)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\cos (3 x)$ y $\frac{1}{3}$ .

$x (- \frac{\cos (3 x)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x$

Paso 3

Dado que $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} - (- \frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + 1 (\frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x)$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x$

Paso 5

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 5.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Paso 6

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u)}{3} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u) d u$

Paso 8.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} \int \cos (u) d u$

Paso 9

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u) + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u) + C)$ como $- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u) + C$ .

$- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u) + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u) + C$

Paso 10.2.2

Combina $\cos (3 x)$ y $\frac{x}{3}$ .

$- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (u) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (3 x) + C$

Paso 12

Reordena los factores en $\frac{\cos (3 x) x}{3}$ .

$- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (3 x) + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (3 x) + C$

Paso 13.2

Combina $\cos (3 x)$ y $\frac{x}{3}$ .

$- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (3 x) + C$

Paso 14

Reordena los factores en $\frac{\cos (3 x) x}{3}$ .

$- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (3 x) + C$