Cálculo Ejemplos

$3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2} = 2 y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d y} (2 y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x$ .

$3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x x' + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5 x^{2} y^{2}$ con respecto a $y$ es $5 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

$6 x x' + 5 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x^{2}$ y $g (y) = y^{2}$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]))$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]))$

Paso 2.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]))$

Paso 2.3.5

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x x'))$

Paso 2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$6 x x' + 5 (2 \cdot x^{2} y + y^{2} (2 x x'))$

Paso 2.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$6 x x' + 5 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x')$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x x' + 5 (2 x^{2} y) + 5 (2 y^{2} x x')$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$6 x x' + 10 (x^{2} y) + 5 (2 y^{2} x x')$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$6 x x' + 10 x^{2} y + 10 y^{2} x x'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 x x' + 10 x^{2} y + 10 y^{2} x x' = 2$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Resta $10 x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x x' + 10 y^{2} x x' = 2 - 10 x^{2} y$

Paso 5.2

Factoriza $2 x x'$ de $6 x x' + 10 y^{2} x x'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2 x x'$ de $6 x x'$ .

$2 x x' \cdot 3 + 10 y^{2} x x' = 2 - 10 x^{2} y$

Paso 5.2.2

Factoriza $2 x x'$ de $10 y^{2} x x'$ .

$2 x x' \cdot 3 + 2 x x' (5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$

Paso 5.2.3

Factoriza $2 x x'$ de $2 x x' \cdot 3 + 2 x x' (5 y^{2})$ .

$2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$

Paso 5.3

Divide cada término en $2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$ por $2 x (3 + 5 y^{2})$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$ por $2 x (3 + 5 y^{2})$ .

$\frac{2 x x' (3 + 5 y^{2})}{2 x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x x' (3 + 5 y^{2})}{2 x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x x' (3 + 5 y^{2})}{x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x x' (3 + 5 y^{2})}{x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (3 + 5 y^{2})}{3 + 5 y^{2}} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $3 + 5 y^{2}$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (3 + 5 y^{2})}{3 + 5 y^{2}} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$x' = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 10 x^{2} y$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 x (3 + 5 y^{2})$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 (x (3 + 5 y^{2}))}$

Paso 5.3.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 (x (3 + 5 y^{2}))}$

Paso 5.3.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 5.3.3.1.3.1

Factoriza $x$ de $- 5 x^{2} y$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{x (- 5 x y)}{x (3 + 5 y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{x (- 5 x y)}{x (3 + 5 y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 5 x y}{3 + 5 y^{2}}$

Paso 5.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $- \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (3 + 5 y^{2})$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y x}{(3 + 5 y^{2}) x}$

Paso 5.3.3.3.2

Reordena los factores de $(3 + 5 y^{2}) x$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y x}{x (3 + 5 y^{2})}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{1 - 5 x y x}{x (3 + 5 y^{2})}$

Paso 5.3.3.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.3.5.1

Mueve $x$ .

$x' = \frac{1 - 5 (x \cdot x) y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Paso 5.3.3.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x' = \frac{1 - 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 - 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$