Cálculo Ejemplos

$\sqrt[3]{1 + 7 x}$

Paso 1

Escribe $\sqrt[3]{1 + 7 x}$ como una función.

$f (x) = \sqrt[3]{1 + 7 x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

Paso 4

Sea $u = 1 + 7 x$ . Entonces $d u = 7 d x$ , de modo que $\frac{1}{7} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 1 + 7 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $1 + 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 7 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 4.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$0 + 7$

Paso 4.1.4

Suma $0$ y $7$ .

$7$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

Paso 5

Combina $\sqrt[3]{u}$ y $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{7} \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 7

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $\frac{1}{7} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ como $\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{7 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 9.2.2

Multiplica $7$ por $4$ .

$\frac{3}{28} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + 7 x$ .

$\frac{3}{28} {(1 + 7 x)}^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sqrt[3]{1 + 7 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{28} {(1 + 7 x)}^{\frac{4}{3}} + C$