Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 4} \frac{4 x^{2} + 4 x - 8}{a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} 4 x^{2} + 4 x - 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} 4 x^{2} + lim_{x \to - 4} 4 x - lim_{x \to - 4} 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 4 x - lim_{x \to - 4} 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 4 x - lim_{x \to - 4} 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 5

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - lim_{x \to - 4} 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 6

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 4$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 4$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + lim_{x \to - 4} b x + lim_{x \to - 4} 8} = \frac{9}{5}$

Paso 8

Mueve el término $a$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{a lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} b x + lim_{x \to - 4} 8} = \frac{9}{5}$

Paso 9

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{a {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} b x + lim_{x \to - 4} 8} = \frac{9}{5}$

Paso 10

Mueve el término $b$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{a {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + b lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 8} = \frac{9}{5}$

Paso 11

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 4$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{a {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + b lim_{x \to - 4} x + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 4$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 4$ para $x$ .

$\frac{4 {(- 4)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{a {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + b lim_{x \to - 4} x + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 4$ para $x$ .

$\frac{4 {(- 4)}^{2} + 4 \cdot - 4 - 1 \cdot 8}{a {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + b lim_{x \to - 4} x + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 12.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 4$ para $x$ .

$\frac{4 {(- 4)}^{2} + 4 \cdot - 4 - 1 \cdot 8}{a {(- 4)}^{2} + b lim_{x \to - 4} x + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 12.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 4$ para $x$ .

$\frac{4 {(- 4)}^{2} + 4 \cdot - 4 - 1 \cdot 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 \cdot 16 + 4 \cdot - 4 - 1 \cdot 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 13.1.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$\frac{64 + 4 \cdot - 4 - 1 \cdot 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 13.1.3

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$\frac{64 - 16 - 1 \cdot 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 13.1.4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{64 - 16 - 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 13.1.5

Resta $16$ de $64$ .

$\frac{48 - 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 13.1.6

Resta $8$ de $48$ .

$\frac{40}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{40}{a \cdot 16 + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 13.2.2

Mueve $16$ a la izquierda de $a$ .

$\frac{40}{16 \cdot a + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 13.2.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $b$ .

$\frac{40}{16 a - 4 \cdot b + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 13.2.4

Factoriza $4$ de $16 a - 4 b + 8$ .

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Paso 13.2.4.1

Factoriza $4$ de $16 a$ .

$\frac{40}{4 (4 a) - 4 b + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 13.2.4.2

Factoriza $4$ de $- 4 b$ .

$\frac{40}{4 (4 a) + 4 (- b) + 8} = \frac{9}{5}$

Paso 13.2.4.3

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{40}{4 (4 a) + 4 (- b) + 4 (2)} = \frac{9}{5}$

Paso 13.2.4.4

Factoriza $4$ de $4 (4 a) + 4 (- b)$ .

$\frac{40}{4 (4 a - b) + 4 (2)} = \frac{9}{5}$

Paso 13.2.4.5

Factoriza $4$ de $4 (4 a - b) + 4 (2)$ .

$\frac{40}{4 (4 a - b + 2)} = \frac{9}{5}$

Paso 13.3

Cancela el factor común de $40$ y $4$ .

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Paso 13.3.1

Factoriza $4$ de $40$ .

$\frac{4 \cdot 10}{4 (4 a - b + 2)} = \frac{9}{5}$

Paso 13.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 10}{4 (4 a - b + 2)} = \frac{9}{5}$

Paso 13.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{10}{4 a - b + 2} = \frac{9}{5}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{10}{4 a - b + 2} = \frac{9}{5}$

Forma decimal:

$\frac{10}{4 a - b + 2} = 1.8$