Cálculo Ejemplos

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Paso 2.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Paso 2.6

Simplifica los términos.

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Paso 2.6.1

Combina $2$ y $\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Paso 2.6.2

Combina $\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ y $x$ .

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Paso 2.6.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Paso 2.6.3.2

Divide $e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ por $1$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} x$

Paso 2.6.4

Reordena los factores en $e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ .

$x e^{\frac{x^{2}}{2}}$