Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{3}{4}} + 8 \sqrt[3]{x} + 3 x^{5}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x^{\frac{3}{4}} + 8 \sqrt[3]{x} + 3 x^{5} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{\frac{3}{4}} d x + \int 8 \sqrt[3]{x} d x + \int 3 x^{5} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + \int 8 \sqrt[3]{x} d x + \int 3 x^{5} d x$

Paso 5

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + 8 \int \sqrt[3]{x} d x + \int 3 x^{5} d x$

Paso 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + 8 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int 3 x^{5} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + 8 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int 3 x^{5} d x$

Paso 8

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + 8 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 3 \int x^{5} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + 8 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + 3 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $x^{6}$ .

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + 3 \frac{x^{6}}{6} + C$

Paso 10.2.2

Combina $3$ y $\frac{x^{6}}{6}$ .

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{6}}{6} + C$

Paso 10.2.3

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 10.2.3.1

Factoriza $3$ de $3 x^{6}$ .

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 (x^{6})}{6} + C$

Paso 10.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{6}}{3 \cdot 2} + C$

Paso 10.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{6}}{3 \cdot 2} + C$

Paso 10.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{6}}{2} + C$

Paso 10.3

Reordena los términos.

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{2} x^{6} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x^{\frac{3}{4}} + 8 \sqrt[3]{x} + 3 x^{5}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{2} x^{6} + C$