Cálculo Ejemplos

$f (x) = - x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{- 3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 2 x + \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Paso 1.3.3

Combina $3$ y $\frac{2}{3}$ .

$- 2 x + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Paso 1.3.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$- 2 x + \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Paso 1.3.5

Combina $\frac{6}{3}$ y $x^{2}$ .

$- 2 x + \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Paso 1.3.6

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 1.3.6.1

Factoriza $3$ de $6 x^{2}$ .

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Paso 1.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Paso 1.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Paso 1.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$- 2 x + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Paso 1.3.6.2.4

Divide $2 x^{2}$ por $1$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{1}{2} (- 3 x^{- 4})$

Paso 1.4.3

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3}{2} x^{- 4}$

Paso 1.4.4

Combina $\frac{- 3}{2}$ y $x^{- 4}$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{2}$

Paso 1.4.5

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3}{2 x^{4}}$

Paso 1.4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 x + 2 x^{2} - \frac{3}{2 x^{4}}$

Paso 1.5

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - \frac{3}{2 x^{4}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - 2 x - \frac{3}{2 x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$4 x - 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- \frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{2 x^{4}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 2.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Paso 2.4.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 2.4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Paso 2.4.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Paso 2.4.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Paso 2.4.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Paso 2.4.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Paso 2.4.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 5})$

Paso 2.4.8

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$4 x - 2 + 4 (\frac{3}{2}) x^{- 5}$

Paso 2.4.9

Combina $4$ y $\frac{3}{2}$ .

$4 x - 2 + \frac{4 \cdot 3}{2} x^{- 5}$

Paso 2.4.10

Multiplica $4$ por $3$ .

$4 x - 2 + \frac{12}{2} x^{- 5}$

Paso 2.4.11

Combina $\frac{12}{2}$ y $x^{- 5}$ .

$4 x - 2 + \frac{12 x^{- 5}}{2}$

Paso 2.4.12

Mueve $x^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 2 + \frac{12}{2 x^{5}}$

Paso 2.4.13

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 2.4.13.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

Paso 2.4.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.13.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{5}$ .

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 (x^{5})}$

Paso 2.4.13.2.2

Cancela el factor común.

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

Paso 2.4.13.2.3

Reescribe la expresión.

$4 x - 2 + \frac{6}{x^{5}}$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$f'' (x) = 4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$ .

$4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$