Cálculo Ejemplos

${(x - 1)}^{2} (x - 2) (x - 4)$

Paso 1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1) (x - 2) (x - 4)]$

Paso 2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 1) - 1 (x - 1)) (x - 2) (x - 4)]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (x - 2) (x - 4)]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

Paso 3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

Paso 3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

Paso 3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

Paso 3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - x + 1) (x - 2) (x - 4)]$

Paso 3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) (x - 4)]$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)$ y $g (x) = x - 4$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

Paso 5.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

Paso 5.4.2

Multiplica $x^{2} - 2 x + 1$ por $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

Paso 6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ y $g (x) = x - 2$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 7.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 7.4

Simplifica la expresión.

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Paso 7.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 7.4.2

Multiplica $x^{2} - 2 x + 1$ por $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 7.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 7.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 7.7

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 7.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 7.9

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 7.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2 + 0))$

Paso 7.11

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Factoriza $1$ de $(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $1$ de $(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)$ .

$1 ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Paso 8.1.2

Factoriza $1$ de $(x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$ .

$1 ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)) + 1 ((x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2)))$

Paso 8.1.3

Factoriza $1$ de $1 ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)) + 1 ((x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2)))$ .

$1 ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2)))$

Paso 8.2

Multiplica $(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$ por $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Paso 8.3

Reordena los términos.

$(x - 2) (x^{2} - 2 x + 1) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Paso 8.4

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.1

Expande $(x - 2) (x^{2} - 2 x + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Paso 8.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 8.4.2.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Paso 8.4.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 2} + x (- 2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Paso 8.4.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$x^{3} + x (- 2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Paso 8.4.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{3} - 2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Paso 8.4.2.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.2.3.1

Mueve $x$ .

$x^{3} - 2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Paso 8.4.2.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{3} - 2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Paso 8.4.2.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Paso 8.4.2.5

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Paso 8.4.2.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 x^{2} + 4 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Paso 8.4.3

Resta $2 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 4 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Paso 8.4.4

Suma $x$ y $4 x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

Paso 8.4.5

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.5.1

Expande $(x - 2) (2 x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.4.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2))$

Paso 8.4.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2))$

Paso 8.4.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

Paso 8.4.5.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.4.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.5.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

Paso 8.4.5.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.5.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

Paso 8.4.5.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

Paso 8.4.5.2.1.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

Paso 8.4.5.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x - 4 x - 2 \cdot - 2)$

Paso 8.4.5.2.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x - 4 x + 4)$

Paso 8.4.5.2.2

Resta $4 x$ de $- 2 x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x + 4)$

Paso 8.4.6

Suma $x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (3 x^{2} - 2 x + 1 - 6 x + 4)$

Paso 8.4.7

Resta $6 x$ de $- 2 x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (3 x^{2} - 8 x + 1 + 4)$

Paso 8.4.8

Suma $1$ y $4$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (3 x^{2} - 8 x + 5)$

Paso 8.4.9

Expande $(x - 4) (3 x^{2} - 8 x + 5)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + x (3 x^{2}) + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Paso 8.4.10

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.10.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x \cdot x^{2} + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Paso 8.4.10.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.10.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 (x^{2} x) + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Paso 8.4.10.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 8.4.10.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 (x^{2} x^{1}) + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Paso 8.4.10.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{2 + 1} + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Paso 8.4.10.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Paso 8.4.10.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x \cdot x + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Paso 8.4.10.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.10.4.1

Mueve $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Paso 8.4.10.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Paso 8.4.10.5

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + 5 \cdot x - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Paso 8.4.10.6

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + 5 x - 12 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

Paso 8.4.10.7

Multiplica $- 8$ por $- 4$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + 5 x - 12 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 5$

Paso 8.4.10.8

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + 5 x - 12 x^{2} + 32 x - 20$

Paso 8.4.11

Resta $12 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 20 x^{2} + 5 x + 32 x - 20$

Paso 8.4.12

Suma $5 x$ y $32 x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 20 x^{2} + 37 x - 20$

Paso 8.5

Suma $x^{3}$ y $3 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 - 20 x^{2} + 37 x - 20$

Paso 8.6

Resta $20 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 5 x - 2 + 37 x - 20$

Paso 8.7

Suma $5 x$ y $37 x$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 42 x - 2 - 20$

Paso 8.8

Resta $20$ de $- 2$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 42 x - 22$