Cálculo Ejemplos

$2 y e^{y^{2}}$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y e^{y^{2}}$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = e^{y^{2}}$ .

$2 (y \frac{d}{d y} [e^{y^{2}}] + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = y^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y^{2}$ .

$2 (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (y (e^{u} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2}$ .

$2 (y (e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (y (e^{y^{2}} (2 y)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Paso 5

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$2 (y^{1} y (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Paso 6

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$2 (y^{1} y^{1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (y^{1 + 1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Suma $1$ y $1$ .

$2 (y^{2} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Paso 8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{y^{2}}$ .

$2 (y^{2} (2 \cdot e^{y^{2}}) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}} \cdot 1)$

Paso 10

Multiplica $e^{y^{2}}$ por $1$ .

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}})) + 2 e^{y^{2}}$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 y^{2} e^{y^{2}} + 2 e^{y^{2}}$

Paso 11.3

Reordena los términos.

$4 e^{y^{2}} y^{2} + 2 e^{y^{2}}$

Paso 11.4

Reordena los factores en $4 e^{y^{2}} y^{2} + 2 e^{y^{2}}$ .

$4 y^{2} e^{y^{2}} + 2 e^{y^{2}}$