Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{2}{7} x^{3} + \frac{1}{5} x^{2} + \frac{1}{2} x d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} \frac{2}{7} x^{3} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{5} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Paso 2

Dado que $\frac{2}{7}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{7}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{7} \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{5} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{5} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{1}{4} x^{4}$ en $1$ y en $0$ .

$\frac{2}{7} ((\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Paso 8.2

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3}$ en $1$ y en $0$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2}$ en $1$ y en $0$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.4

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.5

Multiplica $0$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} + 0) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.6

Suma $\frac{1}{4}$ y $0$ .

$\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.7

Multiplica $\frac{2}{7}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{7 \cdot 4} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.8

Multiplica $7$ por $4$ .

$\frac{2}{28} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.9

Cancela el factor común de $2$ y $28$ .

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Paso 8.4.9.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{28} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.4.9.2.1

Factoriza $2$ de $28$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.11

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.12

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.13

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} + 0 (\frac{1}{3})) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.14

Multiplica $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} + 0) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.15

Suma $\frac{1}{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.16

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.17

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.18

Para escribir $\frac{1}{14}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{1}{14} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.19

Para escribir $\frac{1}{15}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{14}{14}$ .

$\frac{1}{14} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{15} \cdot \frac{14}{14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.20

Escribe cada expresión con un denominador común de $210$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.4.20.1

Multiplica $\frac{1}{14}$ por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{15}{14 \cdot 15} + \frac{1}{15} \cdot \frac{14}{14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.20.2

Multiplica $14$ por $15$ .

$\frac{15}{210} + \frac{1}{15} \cdot \frac{14}{14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.20.3

Multiplica $\frac{1}{15}$ por $\frac{14}{14}$ .

$\frac{15}{210} + \frac{14}{15 \cdot 14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.20.4

Multiplica $15$ por $14$ .

$\frac{15}{210} + \frac{14}{210} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{15 + 14}{210} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.22

Suma $15$ y $14$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.23

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.24

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 8.4.25

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Paso 8.4.26

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Paso 8.4.27

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Paso 8.4.28

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 8.4.29

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 8.4.30

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{4}$

Paso 8.4.31

Para escribir $\frac{29}{210}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{29}{210} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

Paso 8.4.32

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{105}{105}$ .

$\frac{29}{210} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{105}{105}$

Paso 8.4.33

Escribe cada expresión con un denominador común de $420$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.4.33.1

Multiplica $\frac{29}{210}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{29 \cdot 2}{210 \cdot 2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{105}{105}$

Paso 8.4.33.2

Multiplica $210$ por $2$ .

$\frac{29 \cdot 2}{420} + \frac{1}{4} \cdot \frac{105}{105}$

Paso 8.4.33.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{105}{105}$ .

$\frac{29 \cdot 2}{420} + \frac{105}{4 \cdot 105}$

Paso 8.4.33.4

Multiplica $4$ por $105$ .

$\frac{29 \cdot 2}{420} + \frac{105}{420}$

Paso 8.4.34

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{29 \cdot 2 + 105}{420}$

Paso 8.4.35

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.35.1

Multiplica $29$ por $2$ .

$\frac{58 + 105}{420}$

Paso 8.4.35.2

Suma $58$ y $105$ .

$\frac{163}{420}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{163}{420}$

Forma decimal:

$0.38809523 \dots$

Paso 10