Cálculo Ejemplos

$1 - 3 y^{2} - x y^{3} = - x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (1 - 3 y^{2} - x y^{3}) = \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 3 y^{2} - x y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Paso 2.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$0 - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 - 3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$0 - 6 y y' + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$0 - 6 y y' - \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{3}$ .

$0 - 6 y y' - (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$0 - 6 y y' - (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 - 6 y y' - (x (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$0 - 6 y y' - (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 - 6 y y' - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 6 y y' - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

Paso 2.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$0 - 6 y y' - (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Paso 2.3.7

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$0 - 6 y y' - (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 - 6 y y' - (3 x y^{2} y') - y^{3}$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Resta $6 y y'$ de $0$ .

$- 6 y y' - (3 x y^{2} y') - y^{3}$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 6 y y' - 3 x y^{2} y' - y^{3}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$- y^{3} - 6 y y' - 3 y^{2} x y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- y^{3} - 6 y y' - 3 y^{2} x y' = - 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $y^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$- 6 y y' - 3 y^{2} x y' = - 1 + y^{3}$

Paso 5.2

Factoriza $3 y y'$ de $- 6 y y' - 3 y^{2} x y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $3 y y'$ de $- 6 y y'$ .

$3 y y' \cdot - 2 - 3 y^{2} x y' = - 1 + y^{3}$

Paso 5.2.2

Factoriza $3 y y'$ de $- 3 y^{2} x y'$ .

$3 y y' \cdot - 2 + 3 y y' (- y x) = - 1 + y^{3}$

Paso 5.2.3

Factoriza $3 y y'$ de $3 y y' \cdot - 2 + 3 y y' (- y x)$ .

$3 y y' (- 2 - y x) = - 1 + y^{3}$

Paso 5.3

Divide cada término en $3 y y' (- 2 - y x) = - 1 + y^{3}$ por $3 y (- 2 - y x)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $3 y y' (- 2 - y x) = - 1 + y^{3}$ por $3 y (- 2 - y x)$ .

$\frac{3 y y' (- 2 - y x)}{3 y (- 2 - y x)} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y y' (- 2 - y x)}{3 y (- 2 - y x)} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (- 2 - y x)}{y (- 2 - y x)} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (- 2 - y x)}{y (- 2 - y x)} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- 2 - y x)}{- 2 - y x} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $- 2 - y x$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 2 - y x)}{- 2 - y x} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $y^{3}$ y $y$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$y' = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y \cdot y^{2}}{3 y (- 2 - y x)}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.2.2.1

Factoriza $y$ de $3 y (- 2 - y x)$ .

$y' = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y \cdot y^{2}}{y (3 (- 2 - y x))}$

Paso 5.3.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y \cdot y^{2}}{y (3 (- 2 - y x))}$

Paso 5.3.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{2}}{3 (- 2 - y x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{2}}{3 (- 2 - y x)}$