Cálculo Ejemplos

${(x^{3} + 1)}^{2}$

Paso 1

Escribe ${(x^{3} + 1)}^{2}$ como una función.

$f (x) = {(x^{3} + 1)}^{2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(x^{3} + 1)}^{2} d x$

Paso 4

Expande ${(x^{3} + 1)}^{2}$ .

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Paso 4.1

Reescribe ${(x^{3} + 1)}^{2}$ como $(x^{3} + 1) (x^{3} + 1)$ .

$\int (x^{3} + 1) (x^{3} + 1) d x$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{3} (x^{3} + 1) + 1 (x^{3} + 1) d x$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot 1 + 1 (x^{3} + 1) d x$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot 1 + 1 x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Paso 4.5

Reordena $x^{3}$ y $1$ .

$\int x^{3} x^{3} + 1 \cdot x^{3} + 1 x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Paso 4.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{3 + 3} + 1 x^{3} + 1 x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Paso 4.7

Suma $3$ y $3$ .

$\int x^{6} + 1 x^{3} + 1 x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Paso 4.8

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$\int x^{6} + x^{3} + 1 x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Paso 4.9

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$\int x^{6} + x^{3} + x^{3} + 1 \cdot 1 d x$

Paso 4.10

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int x^{6} + x^{3} + x^{3} + 1 d x$

Paso 4.11

Suma $x^{3}$ y $x^{3}$ .

$\int x^{6} + 2 x^{3} + 1 d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{6} d x + \int 2 x^{3} d x + \int d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int 2 x^{3} d x + \int d x$

Paso 7

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 2 \int x^{3} d x + \int d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int d x$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + x + C$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + x + C$

Paso 10.2

Simplifica.

$\frac{x^{7}}{7} + \frac{x^{4}}{2} + x + C$

Paso 10.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{2} x^{4} + x + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(x^{3} + 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{2} x^{4} + x + C$