Cálculo Ejemplos

$\int 3 x^{2} {(x + 6)}^{2} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int x^{2} {(x + 6)}^{2} d x$

Paso 2

Expande $x^{2} {(x + 6)}^{2}$ .

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Paso 2.1

Reescribe ${(x + 6)}^{2}$ como $(x + 6) (x + 6)$ .

$3 \int x^{2} ((x + 6) (x + 6)) d x$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \int x^{2} (x (x + 6) + 6 (x + 6)) d x$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6)) d x$

Paso 2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6) d x$

Paso 2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot 6) + x^{2} (6 x + 6 \cdot 6) d x$

Paso 2.6

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \int x^{2} (x \cdot x) + x^{2} (x \cdot 6) + x^{2} (6 x + 6 \cdot 6) d x$

Paso 2.7

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \int x^{2} (x \cdot x) + x^{2} (x \cdot 6) + x^{2} (6 x) + x^{2} (6 \cdot 6) d x$

Paso 2.8

Reordena $x$ y $6$ .

$3 \int x^{2} x \cdot x + x^{2} (6 \cdot x) + x^{2} (6 x) + x^{2} (6 \cdot 6) d x$

Paso 2.9

Reordena $x^{2}$ y $6$ .

$3 \int x^{2} x \cdot x + 6 \cdot x^{2} \cdot x + x^{2} (6 x) + x^{2} (6 \cdot 6) d x$

Paso 2.10

Reordena $x^{2}$ y $6$ .

$3 \int x^{2} x \cdot x + 6 \cdot x^{2} \cdot x + 6 \cdot x^{2} x + x^{2} (6 \cdot 6) d x$

Paso 2.11

Mueve $x^{2}$ .

$3 \int x^{2} x \cdot x + 6 \cdot x^{2} \cdot x + 6 \cdot x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Paso 2.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 \int x^{2} x^{1} x + 6 x^{2} x + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Paso 2.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \int x^{2 + 1} x + 6 x^{2} x + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Paso 2.14

Suma $2$ y $1$ .

$3 \int x^{3} x + 6 x^{2} x + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Paso 2.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 \int x^{3} x^{1} + 6 x^{2} x + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Paso 2.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \int x^{3 + 1} + 6 x^{2} x + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Paso 2.17

Suma $3$ y $1$ .

$3 \int x^{4} + 6 x^{2} x + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Paso 2.18

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 \int x^{4} + 6 (x^{2} x^{1}) + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Paso 2.19

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \int x^{4} + 6 x^{2 + 1} + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Paso 2.20

Suma $2$ y $1$ .

$3 \int x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Paso 2.21

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 \int x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x^{2} x^{1}) + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Paso 2.22

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \int x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2 + 1} + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Paso 2.23

Suma $2$ y $1$ .

$3 \int x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Paso 2.24

Multiplica $6$ por $6$ .

$3 \int x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} + 36 x^{2} d x$

Paso 2.25

Suma $6 x^{3}$ y $6 x^{3}$ .

$3 \int x^{4} + 12 x^{3} + 36 x^{2} d x$

$3 \int x^{4} + 12 x^{3} + 36 x^{2} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$3 (\int x^{4} d x + \int 12 x^{3} d x + \int 36 x^{2} d x)$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 12 x^{3} d x + \int 36 x^{2} d x)$

Paso 5

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 12 \int x^{3} d x + \int 36 x^{2} d x)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 36 x^{2} d x)$

Paso 7

Dado que $36$ es constante con respecto a $x$ , mueve $36$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 36 \int x^{2} d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 36 (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$3 (\frac{x^{5}}{5} + 3 x^{4} + 12 x^{3}) + C$

Paso 9.2

Reordena los términos.

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + 3 x^{4} + 12 x^{3}) + C$

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + 3 x^{4} + 12 x^{3}) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$