Cálculo Ejemplos

${(x^{3} + 3 y)}^{6} = x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 3 y)}^{6}) = \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = x^{3} + 3 y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} + 3 y$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 3 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y])$

Paso 2.2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Divide cada término en $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$ por $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}$ y simplifica.

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Paso 5.1.1

Divide cada término en $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$ por $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}$ .

$\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Paso 5.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{{(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Paso 5.1.2.2

Cancela el factor común de ${(x^{3} + 3 y)}^{5}$ .

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Paso 5.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{{(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Paso 5.1.2.2.2

Divide $3 x^{2} + 3 y'$ por $1$ .

$3 x^{2} + 3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Paso 5.2

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$

Paso 5.3

Divide cada término en $3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$ por $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}}{3}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.2.1

Para escribir $- 3 x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ .

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2} \cdot \frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Paso 5.3.3.2.2

Combina $- 3 x^{2}$ y $\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ .

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} + \frac{- 3 x^{2} (6 {(x^{3} + 3 y)}^{5})}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Paso 5.3.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{\frac{1 - 3 x^{2} (6 {(x^{3} + 3 y)}^{5})}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Paso 5.3.3.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.2.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y' = \frac{\frac{1 - 3 \cdot 6 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Paso 5.3.3.2.4.2

Multiplica $- 3$ por $6$ .

$y' = \frac{\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Paso 5.3.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3.4

Multiplica $\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Multiplica $\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} \cdot 3}$

Paso 5.3.3.4.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{18 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{18 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$