Cálculo Ejemplos

$y^{2} - 4 x y + \arctan (x) = 4$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - 4 x y + \arctan (x)) = \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 4 x y + \arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x y$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 y y' - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 y y' - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 2.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 y y' - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 2.4

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$2 y y' - 4 (x y' + y) + \frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y y' - 4 (x y') - 4 y + \frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.5.2.1

Para escribir $2 y y'$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$- 4 x y' - 4 y + \frac{2 y y' (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 4 x y' - 4 y + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Paso 2.5.2.3

Para escribir $- 4 x y'$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$- 4 y - 4 x y' \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Paso 2.5.2.4

Combina $- 4 x y'$ y $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$- 4 y + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Paso 2.5.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 4 y + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Paso 2.5.2.6

Para escribir $- 4 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$- 4 y \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Paso 2.5.2.7

Combina $- 4 y$ y $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{- 4 y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Paso 2.5.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1}{x^{2} + 1}$

Paso 3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1}{x^{2} + 1} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Establece el numerador igual a cero.

$- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve la ecuación en $y'$ .

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 y \cdot 1 - 4 y x^{2} - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Paso 5.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x \cdot x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 (x^{2} x)) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Paso 5.2.1.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.2.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 (x^{2} x^{1})) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Paso 5.2.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x^{2 + 1}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Paso 5.2.1.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x^{3}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Paso 5.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Paso 5.2.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + (2 y \cdot 1 + 2 y x^{2}) y' + 1 = 0$

Paso 5.2.1.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + (2 y + 2 y x^{2}) y' + 1 = 0$

Paso 5.2.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 0$

Paso 5.2.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.2.1

Suma $4 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 4 y$

Paso 5.2.2.2

Suma $4 y x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 4 y + 4 y x^{2}$

Paso 5.2.2.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Paso 5.2.3

Factoriza $2 y'$ de $- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y'$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $2 y'$ de $- 4 x y'$ .

$2 y' (- 2 x) - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Paso 5.2.3.2

Factoriza $2 y'$ de $- 4 x^{3} y'$ .

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Paso 5.2.3.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y y'$ .

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Paso 5.2.3.4

Factoriza $2 y'$ de $2 y x^{2} y'$ .

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Paso 5.2.3.5

Factoriza $2 y'$ de $2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3})$ .

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Paso 5.2.3.6

Factoriza $2 y'$ de $2 y' (- 2 x - 2 x^{3}) + 2 y' y$ .

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y) + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Paso 5.2.3.7

Factoriza $2 y'$ de $2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y) + 2 y' (y x^{2})$ .

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y + y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Paso 5.2.4

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.4.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 y' ((- 2 x - 2 x^{3}) + y + y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Paso 5.2.4.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 y' (2 x (- 1 - x^{2}) - y (- 1 - 1 x^{2})) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Paso 5.2.5

Factoriza.

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Paso 5.2.5.1

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 1 - x^{2}$ .

$2 y' ((- 1 - x^{2}) (2 x - y)) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Paso 5.2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Paso 5.2.6

Divide cada término en $2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$ por $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ y simplifica.

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Paso 5.2.6.1

Divide cada término en $2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$ por $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ .

$\frac{2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Paso 5.2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Paso 5.2.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Paso 5.2.6.2.2

Cancela el factor común de $- 1 - x^{2}$ .

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Paso 5.2.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Paso 5.2.6.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (2 x - y)}{2 x - y} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Paso 5.2.6.2.3

Cancela el factor común de $2 x - y$ .

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Paso 5.2.6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 x - y)}{2 x - y} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Paso 5.2.6.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Paso 5.2.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.6.3.1.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 5.2.6.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $4 y$ .

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Paso 5.2.6.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.6.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ .

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Paso 5.2.6.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Paso 5.2.6.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Paso 5.2.6.3.1.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 5.2.6.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4 y x^{2}$ .

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Paso 5.2.6.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.6.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ .

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Paso 5.2.6.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Paso 5.2.6.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Paso 5.2.6.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} - \frac{1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} - \frac{1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$