Cálculo Ejemplos

Derive $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - \frac{2}{\sqrt{x^{5}}} + \sqrt[5]{x^{2}}$

Paso 1

Reescribe el lado derecho con exponentes racionales.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{\sqrt{x^{5}}} + \sqrt[5]{x^{2}}$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{5}}$ como $x^{\frac{5}{2}}$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}} + \sqrt[5]{x^{2}}$

Paso 1.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{5}}$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}} + x^{\frac{2}{5}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}} + x^{\frac{2}{5}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}} + x^{\frac{2}{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Paso 4.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 4.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 4.2.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.4.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.6

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.8.2

Resta $3$ de $1$ .

$- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.10

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.11

Combina $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.12

Multiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.12.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.12.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.12.3

Resta $2$ de $- 2$ .

$- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.12.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.2.13

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

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Paso 4.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ como ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2}$ .

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Paso 4.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- x^{\frac{5}{2} \cdot - 2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- x^{\frac{5}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- x^{\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- x^{5 \cdot - 1} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.5.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.9.2

Resta $2$ de $5$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.10

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- x^{- 5} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.11

Combina $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ y $x^{- 5}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- \frac{5 x^{\frac{3}{2}} x^{- 5}}{2}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.12

Multiplica $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- 5}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.12.1

Mueve $x^{- 5}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- \frac{5 (x^{- 5} x^{\frac{3}{2}})}{2}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- \frac{5 x^{- 5 + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.12.3

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- \frac{5 x^{- 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.12.4

Combina $- 5$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- \frac{5 x^{\frac{- 5 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.12.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- \frac{5 x^{\frac{- 5 \cdot 2 + 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.12.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.12.6.1

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- \frac{5 x^{\frac{- 10 + 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.12.6.2

Suma $- 10$ y $3$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- \frac{5 x^{\frac{- 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.12.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- \frac{5 x^{- \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.13

Mueve $x^{- \frac{7}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.14

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 2 \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.15

Combina $2$ y $\frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{7}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.16

Multiplica $2$ por $5$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{10}{2 x^{\frac{7}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.17

Factoriza $2$ de $10$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{7}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.18

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.18.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{2 \cdot 5}{2 (x^{\frac{7}{2}})} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.18.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{7}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.3.18.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Paso 4.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$ .

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Paso 4.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{5}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}} + \frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1}$

Paso 4.4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}} + \frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Paso 4.4.3

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}} + \frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Paso 4.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}} + \frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}}$

Paso 4.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.5.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}} + \frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}}$

Paso 4.4.5.2

Resta $5$ de $2$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}} + \frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}}$

Paso 4.4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}} + \frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$

Paso 4.5.2

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}} + \frac{2}{5 x^{\frac{3}{5}}}$

Paso 4.5.3

Reordena los términos.

$\frac{5}{x^{\frac{7}{2}}} + \frac{2}{5 x^{\frac{3}{5}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}} + \frac{2}{5 x^{\frac{3}{5}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}} + \frac{2}{5 x^{\frac{3}{5}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$