Cálculo Ejemplos

$y = 2 x \ln (5 x^{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x \ln (5 x^{2})$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (5 x^{2})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Combina $\frac{1}{5 x^{2}}$ y $x$ .

$2 (\frac{x}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (\frac{x^{1}}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.3.1

Factoriza $x$ de $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2.3.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2.3.3

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.4.1

Combina $5$ y $\frac{1}{5 x}$ .

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.4.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.4.4.2.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.4.2.2

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.6.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{2}{x} x + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.6.2

Combina $\frac{2}{x}$ y $x$ .

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.6.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.6.3.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.6.3.2

Divide $2$ por $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \cdot 1)$

Paso 1.4.8

Multiplica $\ln (5 x^{2})$ por $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}))$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (5 x^{2})$

Paso 1.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 + 2 \ln (5 x^{2})$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 \ln (5 x^{2}) + 4$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \ln (5 x^{2}) + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \ln (5 x^{2})$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 (2 x))) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.5

Multiplica $2$ por $5$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (10 x)) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.6

Combina $10$ y $\frac{1}{5 x^{2}}$ .

$2 (\frac{10}{5 x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.7

Combina $\frac{10}{5 x^{2}}$ y $x$ .

$2 \frac{10 x}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.8

Cancela el factor común de $10$ y $5$ .

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Paso 2.2.8.1

Factoriza $5$ de $10 x$ .

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.8.2.1

Factoriza $5$ de $5 x^{2}$ .

$2 \frac{5 (2 x)}{5 (x^{2})} + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.9

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.2.9.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$2 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.9.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.10

Combina $2$ y $\frac{2}{x}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.11

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{x} + 0$

Paso 2.3.2

Suma $\frac{4}{x}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{x}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$4 (- x^{- 2})$

Paso 3.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 x^{- 2}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3.5.2

Combina los términos.

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Paso 3.5.2.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}}$

Paso 3.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{4}{x^{2}}$