Cálculo Ejemplos

$\int_{- 1}^{1} e^{y} - y^{2} + 2 d y$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{1} e^{y} d y + \int_{- 1}^{1} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Paso 2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$e^{y}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{y}]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Paso 5

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 2 y]_{- 1}^{1}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $e^{y}]_{- 1}^{1}$ y $2 y]_{- 1}^{1}$ .

$e^{y} + 2 y]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $e^{y} + 2 y$ en $1$ y en $- 1$ .

$(e^{1} + 2 \cdot 1) - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{y^{3}}{3}$ en $1$ y en $- 1$ .

$(e^{1} + 2 \cdot 1) - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica.

$e + 2 \cdot 1 - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3})$

Paso 7.2.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3})$

Paso 7.2.3.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Paso 7.2.3.8

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

Paso 7.2.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - \frac{1 + 1}{3}$

Paso 7.2.3.10

Suma $1$ y $1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - \frac{2}{3}$

Paso 7.2.3.11

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$e + 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Paso 7.2.3.12

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Paso 7.2.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e + \frac{2 \cdot 3 - 2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Paso 7.2.3.14

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.14.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$e + \frac{6 - 2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Paso 7.2.3.14.2

Resta $2$ de $6$ .

$e + \frac{4}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Paso 7.2.3.15

Para escribir $- (e^{- 1} - 2)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{4}{3} - (e^{- 1} - 2) \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.2.3.16

Combina $- (e^{- 1} - 2)$ y $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{4}{3} + \frac{- (e^{- 1} - 2) \cdot 3}{3}$

Paso 7.2.3.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e + \frac{4 - (e^{- 1} - 2) \cdot 3}{3}$

Paso 7.2.3.18

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$e + \frac{4 - 3 (e^{- 1} - 2)}{3}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e + \frac{4 - 3 (\frac{1}{e} - 2)}{3}$

Paso 8.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e + \frac{4 - 3 \frac{1}{e} - 3 \cdot - 2}{3}$

Paso 8.1.1.3

Combina $- 3$ y $\frac{1}{e}$ .

$e + \frac{4 + \frac{- 3}{e} - 3 \cdot - 2}{3}$

Paso 8.1.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$e + \frac{4 + \frac{- 3}{e} + 6}{3}$

Paso 8.1.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e + \frac{4 - \frac{3}{e} + 6}{3}$

Paso 8.1.1.6

Suma $4$ y $6$ .

$e + \frac{10 - \frac{3}{e}}{3}$

Paso 8.1.1.7

Para escribir $10$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e}{e}$ .

$e + \frac{\frac{10 e}{e} - \frac{3}{e}}{3}$

Paso 8.1.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e + \frac{\frac{10 e - 3}{e}}{3}$

Paso 8.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e + \frac{10 e - 3}{e} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 8.1.3

Multiplica $\frac{10 e - 3}{e}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e + \frac{10 e - 3}{e \cdot 3}$

Paso 8.1.4

Mueve $3$ a la izquierda de $e$ .

$e + \frac{10 e - 3}{3 e}$

Paso 8.2

Para escribir $e$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 e}{3 e}$ .

$e \cdot \frac{3 e}{3 e} + \frac{10 e - 3}{3 e}$

Paso 8.3

Combina $e$ y $\frac{3 e}{3 e}$ .

$\frac{e (3 e)}{3 e} + \frac{10 e - 3}{3 e}$

Paso 8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e (3 e) + 10 e - 3}{3 e}$

Paso 8.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.5.1

Mueve $3$ a la izquierda de $e$ .

$\frac{3 \cdot e e + 10 e - 3}{3 e}$

Paso 8.5.2

Multiplica $3 e e$ .

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Paso 8.5.2.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (e^{1} e) + 10 e - 3}{3 e}$

Paso 8.5.2.2

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (e^{1} e^{1}) + 10 e - 3}{3 e}$

Paso 8.5.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 e^{1 + 1} + 10 e - 3}{3 e}$

Paso 8.5.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 e^{2} + 10 e - 3}{3 e}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3 e^{2} + 10 e - 3}{3 e}$

Forma decimal:

$5.68373572 \dots$

Paso 10