Cálculo Ejemplos

$lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (1 + \frac{i}{n}) (\frac{2}{n})$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Multiplica $1 + \frac{i}{n}$ por $\frac{2}{n}$ .

$\frac{(1 + \frac{i}{n}) \cdot 2}{n}$

Paso 1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{(\frac{n}{n} + \frac{i}{n}) \cdot 2}{n}$

Paso 1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{n + i}{n} \cdot 2}{n}$

Paso 1.3

Combina $\frac{n + i}{n}$ y $2$ .

$\frac{\frac{(n + i) \cdot 2}{n}}{n}$

Paso 1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $n + i$ .

$\frac{\frac{2 (n + i)}{n}}{n}$

Paso 1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 (n + i)}{n} \cdot \frac{1}{n}$

Paso 1.6

Multiplica $\frac{2 (n + i)}{n} \cdot \frac{1}{n}$ .

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Paso 1.6.1

Multiplica $\frac{2 (n + i)}{n}$ por $\frac{1}{n}$ .

$\frac{2 (n + i)}{n \cdot n}$

Paso 1.6.2

Eleva $n$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (n + i)}{n^{1} n}$

Paso 1.6.3

Eleva $n$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (n + i)}{n^{1} n^{1}}$

Paso 1.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (n + i)}{n^{1 + 1}}$

Paso 1.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 (n + i)}{n^{2}}$

Paso 1.7

Reescribe la suma.

$\sum_{i = 1}^{n} \frac{2 (n + i)}{n^{2}}$

Paso 2

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 3

Sustituye los valores en la fórmula.

$(\frac{2 (n + i)}{n^{2}}) (n)$

Paso 4

Cancela el factor común de $n$ .

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Paso 4.1

Factoriza $n$ de $n^{2}$ .

$\frac{2 (n + i)}{n \cdot n} n$

Paso 4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (n + i)}{n \cdot n} n$

Paso 4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (n + i)}{n}$