Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} d x$

Paso 1

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Paso 1.3

Resta $1$ de $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Paso 1.5

Resta $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $u^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{- 1}^{0} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 1}^{0} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\int_{- 1}^{0} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Paso 2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{- 1}^{0} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{- 1}^{0}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ en $0$ y en $- 1$ .

$(\frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{3}{2} \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{2} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.5

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $0$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.6

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$0 - \frac{3}{2} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.2.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.8.1

Cancela el factor común.

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.2.8.2

Reescribe la expresión.

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{2}$

Paso 4.2.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 1$

Paso 4.2.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - \frac{3}{2}$

Paso 4.2.11

Resta $\frac{3}{2}$ de $0$ .

$- \frac{3}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$- 1.5$

Forma de número mixto:

$- 1 \frac{1}{2}$

Paso 6