Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} e^{x}$

Paso 1

Escribe $y = x^{2} e^{x}$ como una función.

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reordena los términos.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Paso 2.1.4.2

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Paso 2.2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.2.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Paso 2.2.3.5

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Paso 2.2.4.2

Suma $e^{x} (2 x)$ y $2 x e^{x}$ .

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Paso 2.2.4.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 2.2.4.2.2

Suma $2 x e^{x}$ y $2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 2.2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Paso 2.2.4.4

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $e^{x}$ de $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $4 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x) + 2 e^{x} = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x) + e^{x} \cdot 2 = 0$

Paso 3.2.4

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x)$ .

$e^{x} (x^{2} + 4 x) + e^{x} \cdot 2 = 0$

Paso 3.2.5

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (x^{2} + 4 x) + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (x^{2} + 4 x + 2) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x^{2} + 4 x + 2 = 0$

Paso 3.4

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 3.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.4.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 3.5

Establece $x^{2} + 4 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x^{2} + 4 x + 2$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 2 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $x^{2} + 4 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica.

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Paso 3.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 3.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.3

Resta $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.5.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Paso 3.5.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 3.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.4.1.3

Resta $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.4.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.5.2.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Paso 3.5.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{2}$

Paso 3.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.5.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.5.1.3

Resta $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.5.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Paso 3.5.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{2}$

Paso 3.5.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (x^{2} + 4 x + 2) = 0$ verdadera.

$x = - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 2 + \sqrt{2}$ en $f (x) = x^{2} e^{x}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2 + \sqrt{2}$ en la expresión.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = {(- 2 + \sqrt{2})}^{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Reescribe ${(- 2 + \sqrt{2})}^{2}$ como $(- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2})$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.2

Expande $(- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 (- 2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 2 + \sqrt{2})) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- 2 + \sqrt{2})) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.3.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.3.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.3.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.3.1.5

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.3.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.3.2

Suma $4$ y $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.3.3

Resta $2 \sqrt{2}$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (6 - 4 \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.5

La respuesta final es $6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$ .

$6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 2 + \sqrt{2}$ en $f (x) = x^{2} e^{x}$ es $(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$

Paso 4.3

Sustituye $- 2 - \sqrt{2}$ en $f (x) = x^{2} e^{x}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2 - \sqrt{2}$ en la expresión.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = {(- 2 - \sqrt{2})}^{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Reescribe ${(- 2 - \sqrt{2})}^{2}$ como $(- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2})$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.2

Expande $(- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 (- 2 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- 2 - \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- 2 - \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.3.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3.1.4

Multiplica $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3.1.4.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3.1.5.5

Evalúa el exponente.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3.2

Suma $4$ y $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3.3

Suma $2 \sqrt{2}$ y $2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (6 + 4 \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.5

La respuesta final es $6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$ .

$6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 2 - \sqrt{2}$ en $f (x) = x^{2} e^{x}$ es $(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}), (- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 2 - \sqrt{2}) \cup (- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2}) \cup (- 2 + \sqrt{2}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.51421356$ en la expresión.

$f'' (- 3.51421356) = {(- 3.51421356)}^{2} e^{- 3.51421356} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 3.51421356$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3.51421356) = 12.34969696 e^{- 3.51421356} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Paso 6.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 12.34969696 (\frac{1}{e^{3.51421356}}) + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Paso 6.2.1.3

Combina $12.34969696$ y $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{e^{3.51421356}} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Paso 6.2.1.4

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{{2.71828182}^{3.51421356}} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Paso 6.2.1.5

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $3.51421356$ .

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{33.58950148} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Paso 6.2.1.6

Divide $12.34969696$ por $33.58950148$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Paso 6.2.1.7

Multiplica $4$ por $- 3.51421356$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 14.05685424 \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Paso 6.2.1.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 14.05685424 \cdot \frac{1}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

Paso 6.2.1.9

Combina $- 14.05685424$ y $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 + \frac{- 14.05685424}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

Paso 6.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

Paso 6.2.1.11

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{{2.71828182}^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

Paso 6.2.1.12

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $3.51421356$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{33.58950148} + 2 e^{- 3.51421356}$

Paso 6.2.1.13

Divide $14.05685424$ por $33.58950148$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 1 \cdot 0.41848951 + 2 e^{- 3.51421356}$

Paso 6.2.1.14

Multiplica $- 1$ por $0.41848951$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + 2 e^{- 3.51421356}$

Paso 6.2.1.15

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + 2 (\frac{1}{e^{3.51421356}})$

Paso 6.2.1.16

Combina $2$ y $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + \frac{2}{e^{3.51421356}}$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Resta $0.41848951$ de $0.36766538$ .

$f'' (- 3.51421356) = - 0.05082413 + \frac{2}{e^{3.51421356}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 0.05082413$ y $\frac{2}{e^{3.51421356}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.00871828$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.00871828$ .

$0.00871828$

Paso 6.3

En $- 3.51421356$ , la segunda derivada es $0.00871828$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ .

Incremento en $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f'' (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = 4 e^{- 2} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Paso 7.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}}) + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Paso 7.2.1.3

Combina $4$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- 2) = \frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Paso 7.2.1.4

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (- 2) = \frac{4}{{2.71828182}^{2}} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Paso 7.2.1.5

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{4}{7.38905609} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Paso 7.2.1.6

Divide $4$ por $7.38905609$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Paso 7.2.1.7

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 8 \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Paso 7.2.1.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 8 \cdot \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Paso 7.2.1.9

Combina $- 8$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Paso 7.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Paso 7.2.1.11

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{{2.71828182}^{2}} + 2 e^{- 2}$

Paso 7.2.1.12

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{7.38905609} + 2 e^{- 2}$

Paso 7.2.1.13

Divide $8$ por $7.38905609$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1 \cdot 1.08268226 + 2 e^{- 2}$

Paso 7.2.1.14

Multiplica $- 1$ por $1.08268226$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + 2 e^{- 2}$

Paso 7.2.1.15

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + 2 (\frac{1}{e^{2}})$

Paso 7.2.1.16

Combina $2$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + \frac{2}{e^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Resta $1.08268226$ de $0.54134113$ .

$f'' (- 2) = - 0.54134113 + \frac{2}{e^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 0.54134113$ y $\frac{2}{e^{2}}$ .

$f'' (- 2) = - 0.27067056$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 0.27067056$ .

$- 0.27067056$

Paso 7.3

En $- 2$ , la segunda derivada es $- 0.27067056$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ .

Decrecimiento en $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.48578643$ en la expresión.

$f'' (- 0.48578643) = {(- 0.48578643)}^{2} e^{- 0.48578643} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $- 0.48578643$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.23598846 e^{- 0.48578643} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Paso 8.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.23598846 (\frac{1}{e^{0.48578643}}) + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Paso 8.2.1.3

Combina $0.23598846$ y $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{e^{0.48578643}} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Paso 8.2.1.4

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{{2.71828182}^{0.48578643}} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Paso 8.2.1.5

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $0.48578643$ .

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{1.62545282} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Paso 8.2.1.6

Divide $0.23598846$ por $1.62545282$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Paso 8.2.1.7

Multiplica $4$ por $- 0.48578643$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.94314575 \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Paso 8.2.1.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.94314575 \cdot \frac{1}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

Paso 8.2.1.9

Combina $- 1.94314575$ y $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 + \frac{- 1.94314575}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

Paso 8.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

Paso 8.2.1.11

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{{2.71828182}^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

Paso 8.2.1.12

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $0.48578643$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{1.62545282} + 2 e^{- 0.48578643}$

Paso 8.2.1.13

Divide $1.94314575$ por $1.62545282$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1 \cdot 1.19544887 + 2 e^{- 0.48578643}$

Paso 8.2.1.14

Multiplica $- 1$ por $1.19544887$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + 2 e^{- 0.48578643}$

Paso 8.2.1.15

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + 2 (\frac{1}{e^{0.48578643}})$

Paso 8.2.1.16

Combina $2$ y $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + \frac{2}{e^{0.48578643}}$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Resta $1.19544887$ de $0.14518321$ .

$f'' (- 0.48578643) = - 1.05026566 + \frac{2}{e^{0.48578643}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $- 1.05026566$ y $\frac{2}{e^{0.48578643}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.18016069$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $0.18016069$ .

$0.18016069$

Paso 8.3

En $- 0.48578643$ , la segunda derivada es $0.18016069$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ .

Incremento en $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}), (- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$ .

$(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}), (- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$

Paso 10