Cálculo Ejemplos

$\int \tan^{4} (5 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 5 x$ . Entonces $d u_{1} = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 5 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 1.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \tan^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

Paso 2

Combina $\tan^{4} (u_{1})$ y $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \int \tan^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{5} \int {\tan (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

Paso 4.2

Reescribe ${\tan (u_{1})}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$\frac{1}{5} \int {(\tan^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (u_{1})$ como $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} \int {(- 1 + \sec^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Paso 6

Simplifica.

$\frac{1}{5} \int 1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u) d u_{1}$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{5} ((1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u)) u_{1} + C)$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Reescribe $\frac{1}{5} ((1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u)) u_{1} + C)$ como $\frac{1}{5} (u_{1} - 2 \sec^{2} (u) u_{1} + \sec^{4} (u) u_{1}) + C$ .

$\frac{1}{5} (u_{1} - 2 \sec^{2} (u) u_{1} + \sec^{4} (u) u_{1}) + C$

Paso 8.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 x - 2 \sec^{2} (u) (5 x) + \sec^{4} (u) (5 x)) + C$

Paso 8.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{5} (5 x - 2 \sec^{2} (u) \cdot 5 x + \sec^{4} (u) \cdot 5 x) + C$