Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{x^{5}}}{2}$

Paso 1

Reescribe $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{x^{5}}}{2}]$ como $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \sqrt{x}}{2}]$ .

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Paso 1.1

Reescribe $x^{5}$ como ${(x^{2})}^{2} x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{x^{4} x}}{2}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{{(x^{2})}^{2} x}}{2}]$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \sqrt{x}}{2}]$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} x^{\frac{1}{2}}}{2}]$

Paso 3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2 + \frac{1}{2}}}{2}]$

Paso 3.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}]$

Paso 3.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}]$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}]$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{4 + 1}{2}}}{2}]$

Paso 3.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2}]$

Paso 4

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Paso 6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Paso 9.2

Resta $2$ de $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Paso 10

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 11

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Paso 12

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{4}$