Cálculo Ejemplos

$y = \sinh^{2} (5 x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sinh^{2} (5 x))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sinh (5 x)$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sinh (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sinh (5 x)]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sinh (5 x)]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sinh (5 x)$ .

$2 \sinh (5 x) \frac{d}{d x} [\sinh (5 x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sinh (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x$ .

$2 \sinh (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sinh (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sinh (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cosh (u_{2})$ .

$2 \sinh (5 x) (\cosh (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x$ .

$2 \sinh (5 x) (\cosh (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sinh (5 x) (\cosh (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.3.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$10 \sinh (5 x) (\cosh (5 x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 \sinh (5 x) (\cosh (5 x) \cdot 1)$

Paso 3.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.4.1

Multiplica $\cosh (5 x)$ por $1$ .

$10 \sinh (5 x) \cosh (5 x)$

Paso 3.3.4.2

Reordena los factores de $10 \sinh (5 x) \cosh (5 x)$ .

$10 \cosh (5 x) \sinh (5 x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 10 \cosh (5 x) \sinh (5 x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 10 \cosh (5 x) \sinh (5 x)$