Cálculo Ejemplos

$\int_{- 1}^{0} (y + \sqrt{y + 2}) d y$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 1}^{0} y + \sqrt{y + 2} d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{0} y d y + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

Paso 4

Sea $u = y + 2$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = y + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 4.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u = y + 2$ .

$u_{lower} = - 1 + 2$

Paso 4.3

Suma $- 1$ y $2$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u = y + 2$ .

$u_{upper} = 0 + 2$

Paso 4.5

Suma $0$ y $2$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

Paso 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{1}{2} y^{2}$ en $0$ y en $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Paso 7.2

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $2$ y en $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1 + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.5

Resta $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.6

Combina $\frac{2}{3}$ y $2^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.7

Multiplica $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.7.1

Multiplica $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 7.3.7.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.7.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.7.4

Suma $2$ y $3$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Paso 7.3.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 7.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Paso 7.3.11

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Paso 7.3.12

Para escribir $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 7.3.13

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.3.13.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 7.3.13.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 7.3.13.3

Multiplica $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Paso 7.3.13.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Paso 7.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 + (2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Paso 7.3.15

Mueve $2$ a la izquierda de $2^{\frac{5}{2}} - 2$ .

$\frac{- 3 + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (3) + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Paso 8.2

Factoriza $- 1$ de $2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)$ .

$\frac{- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

Paso 8.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))$ .

$\frac{- 1 (3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

Paso 8.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 - 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Paso 9.2

Multiplica $- 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza el negativo.

$- \frac{3 - (2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Paso 9.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{3 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Paso 9.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{3 - 2^{1 + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Paso 9.2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{3 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Paso 9.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{3 - 2^{\frac{2 + 5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Paso 9.2.6

Suma $2$ y $5$ .

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Paso 9.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} + 4}{6}$

Paso 9.4

Suma $3$ y $4$ .

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

Forma decimal:

$0.71895141 \dots$

Paso 11