Cálculo Ejemplos

$x^{3} + 2 x + \frac{1}{π} \sin (π x)$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 2 x + \frac{1}{π} \sin (π x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$ .

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Paso 3.1

Como $\frac{1}{π}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{π} \sin (π x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{π} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = π x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $π x$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $π x$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Paso 3.3

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) (π \cdot 1))$

Paso 3.5

Multiplica $π$ por $1$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) π)$

Paso 3.6

Combina $\cos (π x)$ y $\frac{1}{π}$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x)}{π} π$

Paso 3.7

Combina $\frac{\cos (π x)}{π}$ y $π$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x) π}{π}$

Paso 3.8

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.8.1

Cancela el factor común.

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x) π}{π}$

Paso 3.8.2

Divide $\cos (π x)$ por $1$ .

$3 x^{2} + 2 + \cos (π x)$