Cálculo Ejemplos

$\int_{- 4}^{0} (\frac{y}{4} + \sqrt{y + 5}) d y$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 4}^{0} \frac{y}{4} + \sqrt{y + 5} d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 4}^{0} \frac{y}{4} d y + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{- 4}^{0} y d y + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

Paso 5

Sea $u = y + 5$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = y + 5$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $y + 5$ .

$\frac{d}{d y} [y + 5]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 5$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [5]$

Paso 5.1.4

Como $5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u = y + 5$ .

$u_{lower} = - 4 + 5$

Paso 5.3

Suma $- 4$ y $5$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u = y + 5$ .

$u_{upper} = 0 + 5$

Paso 5.5

Suma $0$ y $5$ .

$u_{upper} = 5$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Paso 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{1}{2} y^{2}$ en $0$ y en $- 4$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Paso 8.2

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $5$ y en $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{2} \cdot 16) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.4

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (0 - 16 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.5

Combina $- 16$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{- 16}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.6

Cancela el factor común de $- 16$ y $2$ .

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Paso 8.3.6.1

Factoriza $2$ de $- 16$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (0 + \frac{- 8}{1}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.6.2.4

Divide $- 8$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (0 - 8) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.7

Resta $8$ de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 8 + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.8

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 8$ .

$\frac{- 8}{4} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.9

Cancela el factor común de $- 8$ y $4$ .

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Paso 8.3.9.1

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{4} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.9.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{1} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.9.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$- 2 + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.10

Combina $\frac{2}{3}$ y $5^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.3.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Paso 8.3.12

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 8.3.13

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Paso 8.3.14

Combina $- 2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Paso 8.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 \cdot 3 - 2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Paso 8.3.16

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.16.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6 - 2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Paso 8.3.16.2

Resta $2$ de $- 6$ .

$\frac{- 8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Paso 8.3.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Forma decimal:

$4.78689325 \dots$

Paso 10