Cálculo Ejemplos

$y = 2 x^{2} - x^{2} \sin (x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - x^{2} \sin (x))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - x^{2} \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2} \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$4 x - (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$4 x - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x))$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 x - x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$- x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$